中学丨掌握这些,一元一次方程解应用题不再是问题!(原创)

作者:曹雪联

大帝学校中学部

首席数学教师

列一元一次方程解应用题是七年级数学教学中的一大重点,而列一元一次方程解应用题又是学生从小学升入中学后第一次接触到用代数的方法处理应用题。认真学好这一知识,对于今后学习整个中学阶段的列方程(组)解应用题大有帮助。因此,将列一元一次方程解应用题的几种常见题型及其特点归纳下来,如下:

 

1、和差倍分问题

 

基本数量关系:增长量=原有量×增长率;现在量=原有量+增长量.

 

此问题中常用多、少、大、小、几分之几增加、减少、缩小等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词,确定标准量与比校量,并注意每个词的细微差别。

 

类似于:甲乙两数之和56,甲比乙多3,(乙是甲的1/3),求甲乙各多少?这样的问题就是和倍问题。问题的特点是,已知两个量之间存在合倍差关系,可以求这两个量的多少。基本方法是:以和倍差中的一种关系设未知数并表示其他量,选用余下的关系列出方程。

 

2、行程问题

 

行程中的基本关系:路程=速度×时间。

1)相遇问题(相向而行),这类问题的相等关系是:各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等,即相遇路程=速度和×时间。

 

2)追及问题(同向而行),这类问题的等量关系是:两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系,即追及问题=速度差×时间。

 

3)环形跑道上的相遇和追及问题:

同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程;同地同向而行

的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。

 

4)航行问题:

速度关系是:

   ①顺水速度=静水中速度+水流速度;逆水速度=静水中速度-水流速度。

 

5)飞行问题:

基本等量关系:

 ①顺风速度=无风速度+风速

 ②逆风速度=无风速度-风速

 

行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意,并注意两者运动时出发的时间和地点。

 

3、工程问题

 

基本数量关系:工作总量=工作效率×工作时间;合作的效率=各单独做的效率的和。

 

工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”,分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。

 

4、调配问题

 

从调配后的数量关系中找等量关系

 

常见的是和、差、倍、分关系,要注意调配对象流动的方向和数量。

 

5、溶液配制问题

 

基本数量关系:溶质=溶液×浓度,溶液=溶质+溶剂

 

这类问题常根据配置前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系,分析时可采用列表方法来帮助理解题意。

  

6、利润率

 

数量关系是:商品的利润率=商品利润/商品进价×100%,商品利润=商品售价-商品进价。

注意,打几折销售就是按原价的十分之几出售。

 

7、银行储蓄问题

 

数量关系是:利息=本金×利率×存期;本息=本金+利息,利息税=利息×利息税率。

 

注意利率有日利率、月利率和年利率,年利率=月利率×12=日利率×365

 

8、数字问题

 

要正确区分数字两个概念,这类问题通常采用间接设法,常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。

 

列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式,一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和。若一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这三位数为:+

 

9、年龄问题

 

基本数量关系:大小两个年龄差不会变

 

这类问题主要寻找的等量关系是:抓住年龄增长,一年一岁,人人平等。

  

10、等积体积变换问题

  

此类问题的关键在等积上,是等量关系的所在,必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。

  

11、鸡兔同笼

例如:一笼内有鸡和兔,共有头70个,有腿280条,问有鸡和兔各多少?

 

某地发行了甲乙两种彩票共100万张,甲每张2元,乙每张3元,发行金额160万,求甲乙各多少张?

 

这类问题特点是:两处总量都和包含的个体有关系。因此两处总量就是两个等量关系,可以设其中一个个体为X,利用等量关系列方程。

12、比例类应用题

若甲、乙的比为23,可设甲为2x,乙为3x

 

13、探寻规律类

 

方程的特点是,从给出的材料中找出规律,并利用这一规律找出解决问题的相 等关系,列出方程。

 

这类例如:数字排列规律。2468……-12-34-5……。还有日历中的规律、年龄的规律、数字表示规律等。

 

14、方案选择问题

此类问题根据题目给出的几种方案分别表示出所求量,再进行比较,取最优。

 

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